谐振子代数求解《张朝阳的物理课》向谐振子电梯算子介绍解决方案

尼哥

求解一维谐振子能级有捷径吗？什么是升序和降序运算符？如何使用上下算子求谐振子的能级和稳态波函数？7月9日中午12点，节目《张朝阳的物理课》第156期开播。搜狐创始人、董事局主席和CEO、物理博士·张朝阳坐在搜狐视频直播间，无量纲后先介绍了位置算子、动量算子及其算子，然后给出了升力算子的定义，推导了这些算子之间的交换关系，并建立哈密顿算子和升力算子之间的关系，借助这些算子，可以很容易地得到谐振子能级和每个能级对应的波函数以及它们之间的交换关系。最后，张朝阳还利用谐振子的基态性质定性分析了液氦在大气压下不以固态存在的原因。

谐振子的升序和降序算子及其与哈密顿算子的关系
在之前的物理直播课中，张朝阳提出了谐振子系统的微分方程解法，该解法需要使用渐近分析、幂级数展开和递归公式等多种数学工具。过程有点复杂。在这堂直播课上，张朝阳介绍了谐振子的电梯算子解，这是一个涉及计算知识很少的代数解，推导过程也非常简单。张朝阳将谐振子对微分方程的解决方案与步行进行了比较，而电梯操作员对建造桥梁的解决方案进行了比较。障碍并快速到达终点线。接下来，张朝阳详细介绍了如何建造这座桥。
谐振子的汉密尔顿是

其中m是粒子质量，ω是谐振子的自然角频率。在坐标表示中，脉冲算子对状态的作用可以表示为

另一方面，在坐标表示中，位置算子对状态的影响表示为
由以上两式不难得知，位置算子与坐标算子之间的交换关系为
为了避免因尺寸而产生麻烦的符号，Trump使用以下两个常量：

然后定义

所得的X和P都是无量纲的，X和P之间的交换关系为

使用无量纲X和P，哈密顿算子的表达式可以大大简化：
如果以ћω为能量单位，则哈密顿算子可以进一步简化为

观察这个表达式，X和P处于完全对称的位置。回想一下，在这个复杂的领域，我们有
这表明我们可以对上述哈密顿量进行类似的因式分解。然而，与实数不同，它们对于运算符x和y通常不可互换：
这意味着适用于数字的因式分解不一定适用于运算符。不管怎样，针对目前的情况，还是应该尝试一下。为此，张朝阳引入了以下运算符：

为了符号简单并与其他教科书保持一致，这里省略了运算符a的帽子符号。上式右边的1/√2来自于哈密顿因子1/2。注意X和P都是Hermitian算子，所以我们得到

该运算符仅对应于前面介绍的因式分解的(x-iy)部分。为了看看是否可以解释哈密顿量，张朝阳计算了运算符的乘积，如下所示：

这就是我们得到的

可见，谐振子的哈密顿量虽然不能直接因式分解，但可以通过一个常数项的差来分解。经过类似的计算，我们得到

将上面两个公式相减即可得到

这个关系也可以直接由X和P之间的交换关系以及a的定义计算出来。

（张朝阳介绍电梯操作员）
巧妙利用换向比解析能级和波函数
将运算符N定义为
算子N与哈密顿算子之间的关系为

可见N与哈密顿算子的区别只是一个常数（算子）。如果可以得到N的本征态和本征值，则可以分别得到哈密顿算子的本征态和本征值。出去。因此，令|ψ_l>为N的本征态，其特征值l满足

因为

所以N是埃尔米特算子。并且由于埃尔米特算子的特征值都是实数，所以l只能是实数。
当时，张朝阳提醒大家，a|ψ_l>也是N的本征态，可以通过将N应用于它来证明：

其中，利用a与a^+之间的交换关系：
由前面的结果可知，如果a|ψ_l>不为0，则为N的本征态，其特征值为(l-1)。另一方面，你可以

因此，a^+|ψ_l>是N的本征态，其特征值为(l+1)。从这些结果中，我们看到，如果|ψ_l>是N的特征值，且特征值为l，则算子a使状态的特征值减少1，而a^+使状态的特征值增加1，所以a和a^+统称为电梯算子。
算子N的本征态|ψ_l>能否被算子a连续“约简”？由于a|ψ_l>是N的本征态，其特征值为(l-1)，因此存在常数λ，
上式中的|ψ_l>和|ψ_{l-1}>均假设为归一化状态。因此，有

可见N的特征值l一定是非负实数。从上式还可以看出，如果l不为0，则a|ψ_l>不等于0；如果l为0，则a|ψ_l>=0。
另外，对于非负实数l，总能找到满足0≤l-n
那么l=n+ε。考虑到操作员a的角色，我们有

根据前面的分析，小于等于n的操作得到的状态不为0，因此算子N有一个特征状态，其特征值为ε。但
上式存在如下问题：由于ε满足0≤ε，获得零状态向量。根据前面的分析，只有当l为0时，a|ψ_l>才为0。因此，如果a作用于状态|ψ_ε>，产生零状态向量，则ε一定为0，所以不存在矛盾。我们会看看这个
利用A^+的性质，我们得到

因此，只需|ψ0>，即可通过函数a^+得到其他本征态。也因为如此
用坐标表示法可以表示为

将常数β的表达式代入其中，可简化其推导

或者写成微分表达式

你马上就会得到它

这正是之前通过求解薛定谔方程得到的谐振子基态波函数。这里只需求解一个简单的一阶常微分方程即可得到相应的结果。
为了获得其他本征态的表达式，还需要知道a^+作用产生的系数。设该系数为λ_n，则有

那么有

通过适当选择|ψ_{n+1}>相位，可以使λ_n为正值，因此
换句话说，有

存在于|ψ0>

这就是你得到的

如果采用坐标表示，则上式可表示为

可见，通过求导和四次算术运算就可以得到任意阶的本征态波函数。我们提醒您，在求解微分方程的方法中，需要分析幂级数系数的重复比以及相应的截断条件，以获得相应的波函数。然而，使用提升算子的解决方案不仅可以快速获得能级表达式，而且还可以给出它。得到了各阶波函数的统一表达式。

（张朝阳用上下运算符来解决谐振子）
分析基态波函数的色散，了解液氦为何不能冻结
回到哈密顿量，由于N的特征值是非负整数，所以谐振子的能级为

如果n=0，E0=ћω/2，那么可以看出谐振子的最低能级不为零。这与经典力学不同。在经典力学中，谐振子可以停在势能最低的位置。此时，势能和动能都为零，因此总能量为0。而量子谐振子的E0>0表明谐振子不可能完全静止在势能最低的位置。张朝阳强调，这是不确定性原则的具体体现。如果势场中的一个粒子恰好位于势场中的某处，则其动量的不确定性变得无穷大，因此其动能的平均值不为0。
利用之前获得的基态波函数，我们可以发现这一点

如果对波函数进行傅立叶变换，我们可以得到

对于基态波函数，我们有

所以

可见谐振子基态的波函数满足测不准原理。
此外，张朝阳介绍说，谐振子基态波函数的色散可以用来解释为什么液氦在一个大气层中无论温度多低都不会冻结。为此，张朝阳假设氦在一定温度下凝结成固体，并且氦原子被限制在太空中。由于氦原子的外层电子处于充满状态，氦原子之间的范德华力非常弱，导致“氦固体”中氦原子的势阱非常低。设相应的势为u(x)，平衡位置为x0，则

其中，u''是u(x)对于自变量的二阶导数。上式表明，在平衡位置附近，势阱可以粗略地与谐振子的势进行比较，并满足

这里，m是氦的原子质量。所以

因此，氦原子基态波函数在势上的色散程度为u(x)。

由于势阱很低，u''(x0)很小，又由于氦原子的质量m很小，导致Δx很大，这样即使所有的氦原子都在地下状态（对应于绝对零），这些氦原子将在比势阱更大的区域中散射波函数，因此无法形成固体。这就是液氦在大气压下无论温度多低都不能冻结的定性原因。通过增加压力使氦原子更紧密地接触，可以增加势阱的深度，从而增加u''(x0)的值，这有望让液氦变成固体。

据了解，《张朝阳的物理课》每周五、周日12:00在搜狐直播。网友可在搜狐视频应用“关注流”上搜索“张朝阳”一词，观看往期节目直播和完整视频表演；关注“张朝阳物理课程”账号，查看课程“知识点”短视频；另外，您还可以在搜狐新闻APP的“搜狐科技”账号上阅读各物理课程的详细文章。
谐振子模型的应用：液氦
谐振子的外貌形象与不安全感关系
谐振子激发态波函数

来源：http://www.yidianzixun.com/article/0qL37rmd
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